- $(A^*)^*=|A|^{n-2}A(A为可逆方阵)$。
$$ A^*(A^*)^*=|A^*|E $$
$$ \Rightarrow (A^*)^{-1}A^*(A^*)^*=(A^*)^{-1}|A^*|E $$
$$ \Rightarrow (A^*)^*=(A^*)^{-1}|A^*|E\tag{1} $$
$$ AA^*=|A|E $$
$$ \Rightarrow|AA^*|=||A|E| $$
$$ \Rightarrow|A||A^*|=|A|^n $$
$$ \Rightarrow|A^*|=|A|^{n-1}\tag{2} $$
$$ A^*=|A|A^{-1} $$
$$ \Rightarrow (A^*)^{-1}=(|A|A^{-1})^{-1} $$
$$ \Rightarrow (A^*)^{-1}=|A|^{-1}A\tag{3} $$
$$ (1),(2),(3)\Rightarrow (A^*)^*=|A|^{n-2}A\tag{4} $$
- $(kA)^*=k^{n-1}A^*(A为可逆方阵)$
$$ (kA)(kA)^*=|kA|E $$
$$ =|kA|(kA)^{-1} $$
$$ =k^n|A|k^{-1}A^{-1} $$
$$ =k^{n-1}|A|A^{-1} $$
$$ =k^{n-1}A^*\tag{5} $$
- $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*(A为可逆方阵)$
$$ (A^*)^{-1}=(|A|A^{-1})^{-1} $$
$$ =|A|^{-1}A $$
$$ =|A|^{1-n}|A|^{n-2}A\tag{6} $$
$$ (4),(5),(6)\Rightarrow (A^*)^{-1}=|A|^{1-n}(A^*)^* $$
$$ =(|A|^{-1})^{n-1}(A^*)^* $$
$$ =(|A|^{-1}A^*)^* $$
$$ =(A^{-1})^* $$
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一天不来访,吃饭都不香。
两天不来访,睡觉睡不着。
三天不来访,人生无意义。
Σ(っ °Д °;)っ
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