本文讨论的是一道数学题,源自牛客2020暑假多校第一场J题。

基本目标即对于积分$I=\int_{0}^{1}(x-x^2)^ndx=\frac{p}{q}$(为有理数),求$p*q^{-1}\bmod998244353$。

$I=\int_{0}^{1}(x-x^2)^ndx$

$=\int_{0}^{1}x^n(1-x)^ndx$

$=\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}(1-x)^ndx^{n+1}$

$=\frac{1}{n+1}x^{n+1}(1-x)^{n}|_{0}^{1}+\frac{n}{n+1}\int_{0}^{1}x^{n+1}(1-x)^{n-1}dx$(分部积分)

$=\frac{n}{n+1}\int_{0}^{1}x^{n+1}(1-x)^{n-1}dx$

通过多次约简可以得到

$=\frac{n!}{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}\int_{0}^{1}x^{2n}dx$

$=\frac{{n!}^{2}}{(2n+1)!}$

即$p={n!}^{2},q=(2n+1)!$。

由费马小定理

$ab^{-1}\equiv ab^{N-2}\bmod N$,其中$N$是一个质数。

$p*q^{-1}\bmod998244353=(2n!)^2*((2n+1)!)^{N-2}\bmod N$,其中$N=998244353$即为所求。

Last modification:July 13th, 2020 at 10:29 pm
博客维护不易,如果你觉得我的文章有用,请随意赞赏